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Cálculo diferencial














             Cálculo diferencial






Ejercicios propuestos de la aplicación de la derivada


1.- ¿Cómo determinas mediante derivaras si la siguiente función es creciente o decreciente y cuáles son los máximos y mínimos de la función ?
 donde
2.- Encuentra por medio del criterio de la primera derivada los máximos y mínimos de las siguientes ecuaciones:
 
a).-                        sol. Máx=4 para t=1; mín =0 para t=1
b).-                                  sol. Máx=17 para x=1; mín =-10 para x=-2
c).-               sol. No tiene ni máximos ni mínimos (explicar)
d).-                                  Una parte se describió en clase.  
e).-                              sol. Máx =1/2 para x=a; mín =-1/2 para x=-a
 
3.- Mediante el criterio de  la segunda derivada obtén los máximos y los mínimos de las ecuaciones:
 
a).-
 b).-
 






















     














.

    APLICACIONES DE LA DERIVADA

     Problemas a desarrollar de aplicaciones de máximos y mínimos
    Problemas globales
    1.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
     
     

    Solución

     
    Obtendremos los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada.
    Obteniendo la primera derivada de la función y(x), tendremos:
     
     
    obteniendo las raíces de esta ecuación y´(x)=0, por ejemplo, mediante la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos:
     
    entonces
     
    sacando la segunda derivada tendremos:
     
     
    evaluando en la raíz x1 en la segunda derivada tenemos:
     
    por lo tanto como la evaluación en x1= -1 es negativa   existe un máximo local y su valor máximo es:
     
     
    lo que equivale a decir que en la coordenada (-1,0) existe un  máximo local
     
     
    Para el punto x2= -1/3 la evaluación para la segunda derivada es igual a: 
     
    y al contrario de la otra evaluación se tiene una cantidad positiva y por tanto existe un mínimo local.
     
    Su mínimo local existe en
    lo que equivale a decir que en las coordenadas (-1/3,-4/27) existe un mínimo local
     
    2.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
    Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
     
    encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
    por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
    Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
    y´(-0.01)= -0.004
    evaluando para x después de cero tenemos:
    y´(0.01)= 0.004
     
    como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0)
 

tabla de derivadas

Derivadas elementales 

                  
                   Derivada de Funciones Logarítmicas y Exponenciales


Derivadas de funciones trigonométricas


Formulas para derivar funciones trigonométricas Inversas









Derivadas de funciones hiperbólicas y de funciones inversas hiperbólicas

Derivada de funciones Hiperbólicas


Derivadas de Funciones Hiperbólicas Inversas



 

Aspectos de la función

                                                                                                          
















     














.


La primera y segunda derivada son las derivadas más exploradas en el análisis  de las funciones, en particular, el análisis de los máximos y mínimos. Las derivadas de orden tres y cuatro en ocasiones se utilizan como una  forma de medir los errores, pero su análisis gráfico es menos sencillo.
Aspectos de la función y sus dos primeras derivadas
 
Sobre la función f(x)
 
Cuando la función f es positiva el gráfico esta por encima del eje de las x.
Cuando la función f es negativa el gráfico está por debajo del eje de las x.
Cuando función f  cambia de signo la función cruza al eje de las x.
 
 
 
 

Sobre la primera derivada de la función

 
 
Donde la primera derivada f´(x) es positiva el gráfico sube.
 
 
 
 
 
 
Donde la primera derivada f´(x) es negativa el gráfico desciende.
 
 
Donde la primera derivada f´(x) no cambia de signo el gráfico tiene un tangente horizontal y un máximo o mínimo relativo.
 
Sobre la segunda derivada f´(x)
 
Donde la segunda derivada f´´(x) es positiva el gráfico es cóncavo hacia arriba.
Donde la segunda derivada f´´(x) es negativa el gráfico es cóncavo hacia abajo.
Donde la segunda derivada f´´(x) no cambia de signo el gráfico tiene un punto de inflexión (esto es claro si consideramos que en los puntos de inflexión la primera derivada permanece es cero)
 

criterio de la segunda derivada

 

El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo,  resulta ser un criterio mas fácil de aplicar que el criterio  de la primera,  aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada. Se recomienda revisar los problemas resueltos en la sección de aplicaciones de las derivadas.

 

 

Criterio de la segunda derivada

 
Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.
 
En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:
 

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

 
 
 
Definición.
Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.
 
Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.
 
Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada es creciente en ese  intervalo.
 
 
 
 
 
 
 
 

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

 
 
Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:
 
a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
 

derivadas de orden superior


La segunda, tercera, cuarta derivada, etc... son conocidas como derivadas de orden superior y al igual que el concepto de primera derivada se requiere tener un conocimiento de las condiciones que debe satisfacer las funciones para ser derivables. Las derivadas de orden superior toman un papel importante en el desarrollo de las funciones en series, tales como las series de Taylor o de McClaurin.



Derivadas de segundo orden y de ordenes superiores
 
La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:
 
 
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.
 
Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
 
 
 
para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:
 
 
Ejemplos:
 
Dada la función obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
 
 
 
a)      Solución:
 
 
derivando
 
   b) Solución:
 
para la primera derivada obtenemos
 
 
como podemos ver, en este caso la función es derivable a cualquier orden. Al igual que en el caso anterior.
 
 
 

c).-  Solución

 
 
para la primera derivada obtenemos:
 
 
d).- Solución:
 
 
 
obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:
 
al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos
 
 
como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior.