Cálculo diferencial








	Cálculo diferencial

Ejercicios propuestos de la aplicación de la derivada

1.- ¿Cómo determinas mediante derivaras si la siguiente función es creciente o decreciente y cuáles son los máximos y mínimos de la función ?

donde

2.- Encuentra por medio del criterio de la primera derivada los máximos y mínimos de las siguientes ecuaciones:

a).-

sol. Máx=4 para t=1; mín =0 para t=1

b).-

sol. Máx=17 para x=1; mín =-10 para x=-2

c).-

sol. No tiene ni máximos ni mínimos (explicar)

d).-

Una parte se describió en clase.

e).-

sol. Máx =1/2 para x=a; mín =-1/2 para x=-a

3.- Mediante el criterio de la segunda derivada obtén los máximos y los mínimos de las ecuaciones:

a).-

b).-

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Problemas a desarrollar de aplicaciones de máximos y mínimos

Problemas globales

1.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Solución

Obtendremos los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada.

Obteniendo la primera derivada de la función y(x), tendremos:

obteniendo las raíces de esta ecuación y´(x)=0, por ejemplo, mediante la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos:

entonces

sacando la segunda derivada tendremos:

evaluando en la raíz x₁en la segunda derivada tenemos:

por lo tanto como la evaluación en x₁=-1 es negativa existe un máximo local y su valor máximo es:

lo que equivale a decir que en la coordenada (-1,0) existe un máximo local

Para el punto x₂= -1/3 la evaluación para la segunda derivada es igual a:

y al contrario de la otra evaluación se tiene una cantidad positiva y por tanto existe un mínimo local.

Su mínimo local existe en

lo que equivale a decir que en las coordenadas (-1/3,-4/27) existe un mínimo local

2.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0)

tabla de derivadas

Derivadas elementales

Derivada de Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Derivadas de funciones trigonométricas

Formulas para derivar funciones trigonométricas Inversas

Derivadas de funciones hiperbólicas y de funciones inversas hiperbólicas

Derivada de funciones Hiperbólicas

Derivadas de Funciones Hiperbólicas Inversas

Aspectos de la función

La primera y segunda derivada son las derivadas más exploradas en el análisis de las funciones, en particular, el análisis de los máximos y mínimos. Las derivadas de orden tres y cuatro en ocasiones se utilizan como una forma de medir los errores, pero su análisis gráfico es menos sencillo.

Aspectos de la función y sus dos primeras derivadas

Sobre la función f(x)

Cuando la función f es positiva el gráfico esta por encima del eje de las x.

Cuando la función f es negativa el gráfico está por debajo del eje de las x.

Cuando función f cambia de signo la función cruza al eje de las x.

Sobre la primera derivada de la función

Donde la primera derivada f´(x) es positiva el gráfico sube.

Donde la primera derivada f´(x) es negativa el gráfico desciende.

Donde la primera derivada f´(x) no cambia de signo el gráfico tiene un tangente horizontal y un máximo o mínimo relativo.

Sobre la segunda derivada f´(x)

Donde la segunda derivada f´´(x) es positiva el gráfico es cóncavo hacia arriba.

Donde la segunda derivada f´´(x) es negativa el gráfico es cóncavo hacia abajo.

Donde la segunda derivada f´´(x) no cambia de signo el gráfico tiene un punto de inflexión (esto es claro si consideramos que en los puntos de inflexión la primera derivada permanece es cero)

criterio de la segunda derivada

El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo, resulta ser un criterio mas fácil de aplicar que el criterio de la primera, aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada. Se recomienda revisar los problemas resueltos en la sección de aplicaciones de las derivadas.

Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

derivadas de orden superior

La segunda, tercera, cuarta derivada, etc... son conocidas como derivadas de orden superior y al igual que el concepto de primera derivada se requiere tener un conocimiento de las condiciones que debe satisfacer las funciones para ser derivables. Las derivadas de orden superior toman un papel importante en el desarrollo de las funciones en series, tales como las series de Taylor o de McClaurin.

Derivadas de segundo orden y de ordenes superiores

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son: