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Funciones

Definición de función.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que mas nos interesa dentro del cálculo son las funciones.

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

           
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si los  elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.

 

Donde se dice que f : A  ® B  (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

 

 

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

 

 

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

 

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

 

VARIABLES DEPENDIENTES.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

 

   

Se debe de tener especial cuidado en distinguir entre ecuación y función; este es un error  que muy frecuentemente los estudiantes llegan a cometer, y que puede repercutir cuando se hace uso del cálculo diferencial e integral.

Álgebra de funciones

 

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:

 Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:

 

Suma:                                               (f + g)(x) = f(x) + g(x)

 

Diferencia:                             (f - g)(x) = f(x) - g(x)

 

Producto:                               (fg)(x) = f(x)g(x)

 

Cociente:                               (f/g)(x) = f(x)/g(x)

 

 Los resultados de las operaciones entre funciones f,g  nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones  el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.
Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:

f(x)= x²

g(x)= x

Las operaciones estarían definidas

Suma                                                 (f+g)(x) =  x² +  x    

 

Diferencia                                            (f-g)(x)  =  x² -  x

 

Producto                                                     (f g)(x)  =  (x²) (x) = x³

 

Cociente                                                      (f/g)(x) =   x² / x = x para x¹0

 

Nótese que en el caso de cociente el caso de x¹0, en este caso no existe este valor debido a las raíces de la función g(x)
 

Ejemplos de funciones  y de ecuaciones :

La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos elementos del codominio. El dominio es (-¥, ¥) o lo que equivale a decir que el dominio toma todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,  ya que toma todos los valores en el eje de las Y´s (-¥, ¥).

 

 La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente:

 

Y(x)= x   (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x) Gráfica
                        

Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto.

 

Podemos analizar que en este caso el domino es (-¥, ¥). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea f(x)=x²  conduce a  que solo el recorrido de la función mande a valores positivos, y por tanto el rango de la función es [0, ¥)

                      

La siguiente ecuación no es función y² = x  

Su gráfico es el siguiente:

                             

 

Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.

Funciones pares e impares

 

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

 

Ejemplos 1:

La función y(x)=x  es impar ya que:

 f(-x) = -x                                                           

 pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)
                     

Ejemplo 3:

La función f(x)=x² es par  ya que f(-x) = (-x)² =x²

Algunas funciones elementales.

                                                                                        
Una función importante es la función potencia:

Para ver ejemplos haga click

Esta función también nos lleva a la generación de funciones polinomiales de la forma

Ejemplos de funciones polinomiales

Otra importante gama de funciones  son las que aparecen a continuación, y cuya aplicación es muy diversa, por ejemplo:  las funciones exponenciales, tanto crecientes como decrecientes, cuyo uso mas conocido se da en el manejo de crecimiento de muestras o el decaimiento de algunas partículas. (Video 11.9MB)

 
Otra gama de funciones son las siguientes 
Las funciones exponenciales

una de las mas conocidas, por su aplicación en diferente áreas del conocimiento, es la función exponencial.

     
Hacer click en ele gráfico para verlo.
 
Las funciones logarítmicas

donde a es la base del logaritmo. (ver gráfica)

La función logarítmica, es seguramente, una de las funciones más exploradas en los laboratorios, debido a su propia definición.

   

Definición de logaritmo. El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número dado
   

Las funciones trigonométricas,  se encuentran dentro de las funciones más conocidas en los formalismos de la geometría y la asociación con diversas aplicaciones, por ejemplo, el análisis de movimiento de un cuerpo oscilando y la frecuencia de oscilación.

Funciones circulares o trigonométricas:

Función seno Función coseno Función tangente Función cotangente Función secante Función cosecante

La función seno, cuya función es periodica, de periodo 2p, es decir, del intervalo de [0,2p] el valor de la función no se repite pero después de este valor se vuelve a repetir la gráfica

 y = sen x

Hacer click en la imagen para verla.

Al igual que la función seno la función coseno tiene periodo 2p, esta función esta desfasada a  p/2  de la función seno.

 y = cos x

Hacer click en la imagen para verla.
Su periodo es 2p

La función tangente forma parte de la función tangente cuyo periodo es p y su intervalo  es original es de [-p/2,p/2]
 y = tan x

Hacer click en la imagen para verla.

y = cot x.

Hacer click en la imagen para verla.

 y = sec x

Hacer click en la imagen para verla.

 y = csc x

Hacer click en la imagen para verla.

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Función periódica:

Se dice que una función es periódica cuando la función se "repite" o se reproduce su patrón los mismos valores. Es decir:
f(x+t)=f(x)
como podemos ver ese es el caso de las funciones trigonométricas.

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Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas
Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas  se llaman funciones trascendentes.
Otro tipo de funciones interesantes son las funciones  no elementales tales como: la función delta, función parte entera, la función random, la función valor absolutos entre otras...
Otra forma de clasificar las funciones es en funciones explicitas e implícitas. Se dice que una función es implícita cuando la variable dependiente no esta despejada, por ejemplo: 2y+xy= x², y en caso contrario se le llamara explicita por ejemplo:  y(x)=3x²+1.
Una clasificación mas es cuando las funciones solo esta definida en ciertos valores de dominio, en este caso se les suele llamar funciones por intervalos

Composición de Funciones.

Sea f(x) una función que aplica  f:A®B y g(x) otra función  g(x) que aplica de  g:B®C, se dice que existe una función de h(x) que se genera de aplicar g(x) a la función f(x) cuya aplicación es de f: A®C, donde h(x) = (g o f)(x).como se ilustra en el esquema:

  

Función inversa:

Intuitivamente consideramos por función inversa aquella función que anula la operación realizada por la segunda función.

                

Sea f(x) una función que aplica de  f:A®B y  h:B®A, se dice que h(x) es una función inversa de f si para cada elemento de f(x) existe un elemento único del dominio de h(x) que envia a A, es decir, recupera el elemento del cual proviene.
Si la función f es continua y estrictamente creciente (o decreciente) en el intervalo cerrado [a,b], existe función inversa y es continua y estrictamente creciente (o decreciente).