derivadas de orden superior

La segunda, tercera, cuarta derivada, etc... son conocidas como derivadas de orden superior y al igual que el concepto de primera derivada se requiere tener un conocimiento de las condiciones que debe satisfacer las funciones para ser derivables. Las derivadas de orden superior toman un papel importante en el desarrollo de las funciones en series, tales como las series de Taylor o de McClaurin.

Derivadas de segundo orden y de ordenes superiores

 

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

 

 

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

 

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

 

 

 

para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

 

 

Ejemplos:

 

Dada la función obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

 

 

 

a)      Solución:

 

 

derivando

 

   b) Solución:

 

para la primera derivada obtenemos

 

 

como podemos ver, en este caso la función es derivable a cualquier orden. Al igual que en el caso anterior.

 

 

 

c).-  Solución

 

 

para la primera derivada obtenemos:

 

 

d).- Solución:

 

 

 

obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:

 

al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos

 

 

como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior.