| La historia del cálculo no inicio con Leibnitz, ni con Newton, es una historia larga de contar, y seguramente, como en toda historia se omitirían personajes. Sin embargo, es para nosotros, importante reconocer, que por encima de sus historia, es una importante aportación a la humanidad. |
Introducción
En muchas ocasiones algunas
frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como:
“Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x)
se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a
través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del
siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva
de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y
simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un
método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde
entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass.
De manera informal el límite se
define de la forma siguiente:
| La definición de limite ha cambiado en diversas ocasiones, según lo que en ese momento era lo más oportuno, por ello, se le sugiere al estudiante, las aborde con sumo cuidado y trate de ver lo sustancial de cada una de ellas. |
Definición
de límite de f(x) en a informal.
Sea f(x)
una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f
contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número
c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).
Si al aproximarse x hacia a,
tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir
que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la
derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se
llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la
siguiente forma:
Entonces podemos determinar los
limites para algunas funciones.
Reformulación
informal:
Una reformulación aun todavía
informal es la siguiente:
Sean los números c y b,
c<a<b, tales que f(x) está definida para todos los x en
el intervalo (c,a) y todos
los x en el otro intervalo (a,b). Si x es suficientemente próximo
a a pero no exactamente a.
Definición
precisa de
Weierstrass.
Weierstrass.
1ero
Existe un número c
tal que f(x) está definida para todo x>c
2 odo Para
toda solución E existe un número D tal que para todo x>D tal
que para todo x>D se cumple f(x)>E
Ejemplos
del uso de una definición precisa sobre el limite:
1.- Usando una definición
precisa probar que
Solución:
Sea E cualquier número.
Debemos probar que existe un D tal que siempre x>D, se verifique 2x>E.
Que es el equivalente a decir que para todo número E, debemos probar que
siempre se cumple que f(x) >E
, dado que x>D.
Por ejemplo, si E=100, basta con
D=50. Como podemos darnos cuenta si x>50 entonces 2x>100. El número
dependerá de E
Ahora bien la desigualdad
2x>E equivale a
En otras palabras, si
entonces
2x>E.
Luego
sirve.
sirve.
Esto
es, para x>D (con
), 2x>E. Concluimos
), 2x>E. Concluimos
inmediatamente
que
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