| El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo, resulta ser un criterio mas fácil de aplicar que el criterio de la primera, aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada. Se recomienda revisar los problemas resueltos en la sección de aplicaciones de las derivadas. |
Criterio de la segunda derivada
Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda
derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden
superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas
implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las
ecuaciones de movimiento.
En esta sección presentaremos una interpretación gráfica
de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los
máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de
la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:
Definición.
Cóncava hacia abajo. Se dice que una función
es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es
creciente en un intervalo abierto (a,b)
Definición.
Puntos de inflexión y número de inflexión.
Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b
y c tales que b<a<c y
además:
a)
f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)
f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en
(a,c), o viceversa.
Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a))
se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de
inflexión.
Si la segunda derivada f´´ de una función f
es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´
es creciente en ese intervalo.
Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos
Sea f una función con su primera derivada definida,
al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´
esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:
a).- Si f´(a)=0
y f´´(a)<0
entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0
y f´(a)>0
entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
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