ejercicios de derivadas

 

En esta sección, se presentan una serie de problemas resueltos, cuya finalidad es la de  servir de complemento a la parte teórica presentada en las otras secciones.

 
Ejercicios Resueltos


Derivadas de sumas, diferencias, potencias, productos y cocientes

                                                                                              

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Derivadas de sumas, diferencias, potencias y productos:   1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.   a).-  b).-  c).-  d).-   a). – Solución como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si entonces por lo que para la función planteada en el ejercicio:     Recordando que la derivada de una función potencia es   y que en la derivada de una constante es cero tendremos     es decir   b). – Solución   Para este caso  Distribuyendo la derivada tenemos:   y utilizando directamente la fórmula para  la cual es  :  observamos que al derivar, por ejemplo,  obtenemos   por lo que :     c). – Solución   De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos: como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene   por lo tanto:       d). – Solución     derivando cada término Por lo que:       2.- Obtener los siguientes problemas.   a).- b).- c).- d).-   Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:     a).- Solución       para obtener la solución tenemos dos caminos.   1ero en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1 derivando cada función obtendríamos:   f´(x)=1  y g´(x)=2x   sustituyendo en (A.1) tendríamos:       simplificando:     2ada forma Como ya que x2+1 nunca es cero, entonces: podremos utilizar la fórmula:     donde  f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1 derivando cada función obtendríamos:   f´(x)=1  y sustituyendo en A.2 obtenemos:     b).-Solución     aplicando la fórmula tenemos:     del ejercicio anterior ya obtuvimos que:   y  entonces:       por lo tanto:     c).- Solución sustituyendo en la ecuación (A.1)     por lo tanto:   d).- Solución     aplicando la fórmula tenemos:    pero ya hemos calculado  del ejercicio a)     y la derivada de x3-x es:    de lo que:

Derivadas de logaritmos y funciones elevadas a funciones

Ejercicios de derivadas logarítmicas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:   a).- b).-   c).- d).- e).-     a)      Solución para la solución de estos problemas ocuparemos las siguientes fórmulas     utilizando C.5 y haciendo   tenemos pero  por lo que   simplificando     b)      Solución   utilizando C.5 y haciendo   tenemos:   utilizaremos la derivada de un cociente: en este caso la f(x)= x2 cos x   y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x) por lo que solo falta calcular la derivada de  g(x) sustituyendo en  la fórmula (B.2)     factorizando (2x+1)2 tendremos:   pero   por lo tanto:   finalmente al sustituir en b.1 tenemos:       c)      Solución   tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x tenemos:       d)      Solución   aplicando directamente C.1 tenemos     e). solución   aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:       2.- Demuestre la fórmula      como      pero de la propiedad:     entonces  derivando tenemos:   utilizando el hecho de que  y la derivada de un logaritmo natural tenemos: simplificando, tenemos:

 

Derivadas de funciones trigonométricas

Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas trigonométricas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:   a).- b).-   c).- d).-   a)      Solución   aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:   tenemos:   pero:   por lo tanto:       b)      Solución utilizaremos la derivada de un cociente: en este caso la f(x)= x2 cos x   y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x) por lo que solo falta calcular la derivada de  g(x) sustituyendo en  la fórmula (B.2)     factorizando (2x+1)2 tendremos:   pero   por lo tanto:   c)      Solución     haciendo u=csc 3x tenemos:    aplicando la regla de la cadena tenemos     pero v= csc 3x   recordando que   tenemos sustituyendo en y´(x) tenemos:   d)      Solución     aplicando la fórmula (B.1) tenemos:   simplificando tenemos:

 

 
Derivadas de funciones  trigonométricas inversas

 

1.-  obtener las siguiente derivadas funciones inversas:

 

a).-

 

 

b).-

 

a)      Solución

Aplicando la fórmula para un producto de funciones tenemos

 

 

para derivar la función arc cos(2x+1) utilizaremos la fórmula

 

por lo que

 

con la restricción  

 Finalmente la solución es:

 

b)      Solución

 

 

pero 

entonces basta con poner la restricción  y aplicar la fórmula

 

 

2.- Obtener la derivada de la función F(x) cuando y graficar la solución

 

a)

b) con k₁ y k constantes

 

 

a). Solución

 

 

el gráfico es una línea recta paralela al eje X. El gráfico para k=5 es el siguiente

 

 

b). Solución 

Utilizando la fórmula tenemos

 

 

su gráfico es el siguiente:

 

 

Derivadas de funciones Hiperbolicas

Derivadas Hiperbólicas 1.- Encontrar la solución de los siguientes ejercicios   a)      b)      a)      Solución Utilizando la fórmula  tenemos:   b)      Solución       2.- Determine la derivadas de las funciones inversas logarítmicas   a)   b)     a)      Solución   Aplicando directamente la fórmula:     tenemos:       b)      Solución